傅里叶变换是我们最早开始接触的时频域变换方法,虽然经常使用,知道怎么用纸笔计算,但是还从来没有在电脑中模拟过,正好现在开始学习数字信号处理,借着这个机会再学习如何在电脑上模拟傅里叶变换。

以下大部分内容来自Digital Signal Processing Using Matlab数字信号处理教程 程佩青

此次选择的软件平台为Matlab。

由于Matlab无法处理无限长序列,所以需要处理的信号必须是有限长的。

连续时间傅里叶变换

傅里叶变换的公式为:

\[ X_a(j\Omega)=\int x_a(t)e^{-j\Omega t}dt \]

为了在计算机中模拟傅里叶变换,我们将积分变为求和的方式,上下限也从正无穷到负无穷变为一段长度M,dt需要尽可能小

\[ X_a(j\Omega) = \sum_m x_a(m\Delta t)e^{-j\Omega m\Delta t}\Delta t \]

在Matlab中,函数的自变量因变量的集合都是使用矩阵来存储的,从矩阵的角度来看傅里叶变换的公式如下:

\[ [X_a(0)\ X_a(1)\ X_a(2)\ ..] = [x_a(0)\ x_a(1)\ x_a(2)\ ..] \left[ \begin{matrix} e^{-j\omega_0 t_0} & e^{-j\omega_1 t_0} & \cdots & e^{-j\omega_K t_0} \\ e^{-j\omega_0 t_1} & e^{-j\omega_1 t_1} & \cdots & e^{-j\omega_K t_1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ e^{-j\omega_0 t_N} & e^{-j\omega_1 t_N} & \cdots & e^{-j\omega_K t_N} \\ \end{matrix} \right] \]

角频率向量定义为\(\omega=[\omega_0\ \omega_1\ ...\ \omega_K]\)

时间向量定义为\(t=[t_0 :\Delta t: t_N]\)

因此矩阵指数可写为\(-j*t'*\omega\)

整个傅里叶变换可写为

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Xa = xa * exp(-1j*t'*W) * Dt;

具体实现

其实下面这个例子是Digital Signal Processing Using Matlab中的,来自P64页,不过想到都看到这里了还要读者翻书不太好,就一起放上来了。

定义\(x_a(t) = e^{-1000|t|}\)

先进行数学上的分析,

\[ \begin {aligned} X_a(j \Omega) &= \int^\infty_{-\infty}x_a(t)e^{-j\Omega t}dt \\ &= \int^0_{-\infty}e^{1000t}e^{-j\Omega t}dt + \int^\infty_0 e^{-1000t}e^{-j\Omega t}dt \\ &= \frac{0.002}{1+(\frac{\Omega}{1000})^2} \end {aligned} \]

MATLAB实现如下:

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% Analog Signal
Dt = 0.00005;
t = -0.005:Dt:0.005;
xa = exp(-1000*abs(t));

% Continuous-time Fourier Transform
Wmax = 2*pi*2000;
K = 500;
k = 0:1:K;
W = k*Wmax/K;

Xa = xa * exp(-1j*t'*W) * Dt;
Xa = abs(Xa);

W = [-fliplr(W), W(2:501)];
Xa = [fliplr(Xa), Xa(2:501)];

subplot(2,1,1);
plot(t*1000,xa);
xlabel('t in msec.');
ylabel('xa(t)');
title('Analog Signal');

subplot(2,1,2);
plot(W/(2*pi*1000),Xa*1000);
xlabel('Frequency in KHz'); ylabel('Xa(jW)*1000');
title('Continuous-time Fourier Transform');

运行效果如下:

如果想确认变换的正确性,可以在运行完上面这个脚本后,在命令行输入

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plot(W/(2*pi*1000),(0.002./(1+(W./1000).^2))*1000);
xlabel('Frequency in KHz'); ylabel('Xa(jW)*1000');

运行效果如下:

这时会发现,根据上面推导的变换公式直接plot出的图形和变换后得到的图形是一样的,这样可以确定变换的正确性。

存在问题

目前存在的问题是,对于复函数的变换结果不正确。我想了很多天都找不出问题所在,只能暂时放弃,等以后有机会再研究。

离散时间傅里叶变换

下面是对上一个例子中的模拟输入信号做离散化,然后再进行离散傅里叶变换。

为了体现Nyquist定理,将使用两种不同的采样频率 1. 使用Fs=5000sam/sec采样来获得x1(n) 2. 使用Fs=1000sam/sec采样来获得x2(n)

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% Analog Signal
Dt = 0.00005;
t = -0.005:Dt:0.005;
xa = exp(-1000*abs(t));

% Discrete-time Signal
Ts = 0.0002;
n = -25:1:25;
x = exp(-1000*abs(n*Ts));

% Discrete-time Fourier transform
K = 500;
k = 0:1:K;
w = pi*k/K;

X = x*exp(-j*n'*w); X = real(X);

w = [-fliplr(w), w(2:K+1)];
X = [fliplr(X), X(2:K+1)];

subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa);
xlabel('t in msec.');
ylabel('x1(n)');
title('Discrete Signal');hold on;

stem(n*Ts*1000,real(x));gtext('Ts=0.2 msec');hold off;

subplot(2,1,2);plot(w/pi,X);
xlabel('Frequency in pi units');ylabel('X1(w)');
title('Discrete-time Fourier Transform');

Fs=5000sam/sec

xa(t)的频率为2KHz,因此它的Nyquist频率为4KHz,而它的采样频率为5KHz,所以是满足Nyquist采样定律的,此时不会发生混叠。

运行效果如下:

Fs=1000sam/sec

这里使用的采样频率为1KHz,不满足Nyquist条件,因此会发生混叠。观察一下就会发生,1KHz采样得到的序列的频域波形和前面的频域波形不同,这就是混叠导致的,而且过低的采样率采集的信号的变换的不可逆的。

运行效果如下: