角度调制的两种方法

一般表达式为

\[ s(t)=A_c\cos[2\pi f_c t+\theta(t)] \tag{1} \]

FM与PM的表达式

PM: 消息直接放在相位上

\[ \begin{aligned} \theta(t) &= K_p m(t) \\ s_{PM}(t) &= A_c\cos\left[2\pi f_c t + k_{PM} m(t)\right] \end{aligned} \tag{2} \]

FM: 消息直接放在角频率上

\[ \begin{aligned} \frac{d\theta(t)}{dt} &= K_f m(t) \\ \theta(t) &= K_f\int m(t)dt \\ s_{FM}(t) &= A_c\cos\left[2\pi f_c t + 2\pi k_{FM}\int m(t)dt\right] \end{aligned} \tag{3} \]

FM与PM之间的联系

从图中可以看出来,PM和FM是存在某种联系的,他们是相对的、关联的。

这是由于频率与相位之间存在微分与积分的关系,FM和PM之间是可以互相转换的。

  • 消息信号经过积分器再进入PM调制器可以得到FM信号
  • 消息信号经过微分器再进入FM调制器可以得到PM信号

角度调制的优势

他是恒幅波,不怕非线性失真,这解决了大功率放大器的非线性失真问题

角度调制的基本参数

调制程度

最大相偏

联合(1)(2)(3)式,我们可以得到最大相偏\(\Delta \theta_{max}\)

\[ \begin{aligned} &PM:\ \ k_{PM}|m(t)|_{max} \\ &FM:\ \ 2\pi k_{FM}\left| \int m(t)dt\right|_{max} \end{aligned} \]

最大频偏

根据(3)式可以知道频率与相位之间存在微分积分的关系,因此我们可以得到角度调制的频率变化函数

\[ PM:\ \ f_i (t) = f_c + \frac{1}{2\pi} \frac{d}{dt} \theta(t) \\ FM:\ \ f_i (t) = f_c + k_{FM} m(t) \]

因此可以得到最大频偏\(\Delta f_{max}\)

\[ \begin{aligned} &PM:\ \ \frac{1}{2\pi} k_{PM}|m\prime (t)|_{max} \\ &FM:\ \ k_{FM}\left| m(t)dt\right|_{max} \end{aligned} \]

从上面的分析中,我们可以发现最大频偏/相偏正比于调制系数与消息信号的最大幅度

正弦消息特例与调制指数

令消息信号m(t)如下

\[ m(t) = a\cos(2\pi f_m t) \]

角度调制公式则如下

\[ PM:\ \ s_{PM}(t) = A_c\cos\left[2\pi f_c t +\beta \cos(2\pi f_m t) \right] \\ \theta_{max} = k_{PM}a \\ \Delta f_{max} = f_m k_{PM}a \\ \beta_{PM} = \Delta \theta_{max} \\ FM:\ \ s_{FM}(t) = A_c\cos\left[2\pi f_c t + \beta \sin(2\pi f_m t) \right] \\ \Delta f_{max} = k_{FM}a \\ \beta_{FM} = \frac{\Delta f_{max}}{f_m} \\ \]

调制指数是角度调制的基本参数之一,所以很重要,对于一般信号的定义如下

\[ \beta = \frac{\Delta f_{max}}{B} \]

式中B为消息信号的带宽

角度调制的信号带宽

信号带宽

角度调制信号的频谱无法用公式表示,不过他的带宽可以使用Carson公式计算得到,这个公式是通过对角度调制信号傅里叶系数分解得到的

\[ B_T = 2\Delta f_{max} + 2B = 2(D+1)B\\ D = \frac{\Delta f_{max}}{B} \]

式中的D为频偏比,也就是调制指数

频谱特点

从单音调频信号的频谱也再次验证了角度调制是非线性调制。而且也看得出FM调制会占用很宽的频带,但也正是因此,FM信号抗干扰、高质量。

实际生活中 + 宽带调频应用广泛 + 窄带调频应用较少

角度调制的产生与接收

简单的说,角度调制就是将信号幅度上的变化转变为频率相位上的变化

直接调频

直接调频是通过前文提到过的压控振荡器(VCO)实现的,VCO的振荡频率正比于输入控制电压

\[ f_i (t) = f_c + k_{FM} m(t) \]

VCO可以通过LC振荡器实现,目前常用的电抗元件是变容二极管。但是这种直接调频的方法频率稳定性不好,不过可以通过使用PLL电路优化。因此,在早期的时候,直接调频的方法并不好用,主要使用的是间接调频的方法。

间接调频

间接调频使用的是阿姆斯特朗(Armstrong)法,它是先将消息信号积分,然后对载波调相,得到窄带调频(NBFM)信号,经过倍频得到宽带调频(WBFM)信号。上图就是他是系统框图

下面来解释他的原理

\(\theta (t)\)远小于1时,\(\cos\theta(t)\)接近于1,\(\sin\theta(t)\)接近于\(\theta(t)\);因为\(\theta(t)\)很小,所以调制指数\(\beta=\Delta\theta_{max}\)也就很小,因此这是一个窄带调频信号

从系统框图我们可以看出,这个信号的产生是将消息信号m(t)通过积分器得到\(\theta(t)\),并将\(\theta(t)\)控制得很小,再乘以cos信号反相得到的sin信号,最后再加上这个cos信号就得到了NBFM信号;由于这个NBFM信号不是理想的,所以还存在起伏,通过限幅器减小这种畸变;再经过倍频器和贷带通滤波器,得到WBFM。

角度调制信号解调

解调是用和调制相反的方法,也就是将调制信号的疏密(频率相位)转换为幅度

先从数学上分析解调过程

\[ s_{FM}(t) = A_c\cos\left[2\pi f_c t + K_f\int m(t)dt\right] \]

将其对t求微分

\[ \frac{d s_{FM}(t)}{dt} = -A_c[2\pi f_c t + K_f m(t)]\sin\left[2\pi f_c t + K_f\int m(t)dt\right] \]

联系在AM中解调的方法,将包络提取出来,再去掉直流信号与高频载波信号,就得到m(t)信号了。

下面是解调的系统框图

在包络检波时,如果使用单调谐回路存在线性度差、线性范围较小的问题,而且还存在直流分量,虽然可以使用电容隔离直流,但是也有可能对低频信号产生损失;为了改进包络检波的电路,可以使用双调谐互补电路,在线性度好的同时,还没有直流成分的存在。

篇外话

无论是发送还是接收,现代流行的技术方案都是采用基带处理与正交调制相结合的方案。

基带处理可以用DSP FPGA方便灵活实现各种调制方案

噪声分析

无论什么系统,在通过信道传输后总会被噪声干扰,只有了解噪声才能降低噪声的干扰,下面开始对噪声的分析

  • 如何分析
  • 解调增益 系统增益
  • 各种调制方法性能

噪声分析方法

基带传输中的噪声

一般情况下,噪声都可以简化为高斯白噪声信号

去除噪声的方法就是使用一个和调制信号带宽相同的理想滤波器滤除噪声,不过调制信号带宽内的噪声无法去除

我们使用信噪比(SNR)来度量消息的质量

高斯白噪声是平坦的,通过低通滤波器后还是平坦的,因此噪声信号功率可以通过噪声信号的面积得到

\[ SNR_o = \frac{P_m}{P_{n_o}} = \frac{\overline{m^2(t)}}{N_o B} \]

频带传输中的噪声

在频带分析中会涉及到调制解调,解调可能会使得消息信号发生变化,所以无法得知调制信号和残留噪声的具体值,因此SNR的分析就不是那么简单了,就需要更细致的分析

  • 针对具体解调方法分析

ENV指包络的意思

  • 将具体信号带入分析

解调增益和系统增益

解调增益

这个表中有列举几种调制的解调增益,输入SNR比较容易获得,我们可以通过解调增益和输入SNR求得输出SNR

系统增益

将基带传输信噪比与频带传输信噪比对比,得到系统增益,通过系统增益衡量频带传输系统的好坏

通过推导可以得到系统增益与解调增益之间的关系如下

下面这个表列举了几种调制的系统增益

通过系统增益可以直接比较不同系统的性能

各种调制性能比较

模拟调制性能指标

  • 可靠性 输出信号的信噪比
  • 有效性 占用的带宽

各种调制系统的性能比较

比较结论

参考资料: